主要记录了一些我觉得理解起来非常抽象的内容。

Chapter11：Euclid 空间上的极限和连续

11.1：Euclid 空间上的基本定理

11.1.1：基本定义

定义 $R^n$ 中的元素 $x_1,...,x_n$ 为向量或者点，$x_i$ 称为第 i 个坐标。
在此空间有加法和数乘运算：

$x+y = (x_1+y_1,...,x_n+y_n) \lambda x = (\lambda x_1,...,\lambda x_n)$

则这是一个向量空间。
在此基础上定义内积：

$<x,y>=\sum\limits_{k=1}^{n}x_ky_k$

那么这是一个 Euclid 空间，也就是内积空间。
内积空间的性质在 线代II(H) 或者高代里面肯定提过，就不多赘述了。
我们在欧式空间定义距离和范数：

$|x-y| = \sqrt{(x_1-y_1)^2+...+(x_n-y_n)^2}\\ ||x|| = \sqrt{<x,x>} = \sqrt{x_1^2+...+x_n^2}$

在这个空间中定义邻域：

$O(a,\delta)=\{x\in R^n| |x-a|<\delta\}$

称之为 a 的 $\delta$ 邻域，a 和 $\delta$ 分别叫中心和半径。
相似的，我们继续定义收敛序列：

$\forall \epsilon > 0, \exists n, n>N \to x_n \in O(a,\epsilon)$

则称 $x_n$ 收敛于 a。
我们下面证明这个定理：

$\lim_{k\to \infty}x_k = a \iff \lim_{k\to \infty}x_i^k = a_i$

证：我们有

$|x_i^k-a_i|\le \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i^k-a_i)^2} \le \sum_{i=1}^{n} |x_i^k -a_i|$

因此：如果对于任意 $\epsilon$ ，存在 N1，使得 $k>N1$ 时， $|x_k-a|<\epsilon$，那么对于每个 i，对于任意 $\epsilon$，取 $N>N1$ 即可。
如果对于每个i都有：对于任意 $\epsilon$，存在 $N_i$，使得$t>N_i$ 时，$|x_t^k-a_k|<\epsilon$ 。那么取 $\epsilon = \frac{\epsilon_0}{n}$，$N=\max(N_1,...,N_n)$ 即可。
我们定义有界集：

$\forall x\in S, \exist M, ||x||<M$

则称 S 是有界集。

11.1.2：开集、闭集

在引入开集闭集的观念之前，我们需要先明确非常多的定义。

1. 定义内点：$\exists x$ 的一个邻域 $O(x,\delta)$，使得这个邻域全部属于 S，那么称 x 为 S 的内点。
   显然内点本身一定在 S 中。
2. 定义外点：$\exists x$ 的一个邻域 $O(x,\delta)$，使得这个邻域全部不属于 S，那么称 x 为 S 的外点。
3. 定义边界点：不是内点也不是外点，也就是 x 的任意一个邻域都存在 $S$ 和 $S^c$ 的点。
   边界点既可能在 S 内，也可能在 $S^c$ 内。
4. 定义孤立点：$\exists x$ 的一个邻域 $O(x,\delta)$，使得这个邻域只有 x 属于 S。
   由此定义聚点：x 的任意邻域都存在 S 中的无限个点，那么 x 为 S 的聚点。
   显然有：S 的内点一定是聚点；S 的非孤立边界点一定是聚点。
   聚点不一定在 S 内。
   定理：x 是 S 的聚点的充分必要条件是：存在点列 $x_k\in S$ ，使得 $\lim_{k\to\infty}x_k = x$ 。
   证明：如果 $\lim_{k\to\infty}x_k = x$，那么 $\forall \epsilon>0, \exists N, n>N$ 的时候有 $|x_n-x|<\epsilon$，也就是 $x_n \in O(x,\epsilon)$，这个邻域内有无限个点，符合聚点的定义。
   如果 x 是 S 的聚点，那么任意邻域 $O(x,\delta)$ 均有 S 的无限个点，我们构造一个 $\delta_k \to 0$，那么取 $x_1\in S_1, x_2\in {S_2-x_1}, x_3\in{S_3-x_1-x_2},...$，是一个可列无限集，距离趋近于 0，所以 $x_k$ 趋近于 x。

铺垫了这么多，我们终于可以定义开集和闭集了。

1. 定义开集：所有点都是内点的集合是开集。
2. 定义闭集：包含了所有聚点的集合是闭集。
3. 定义闭包：S 和 S 的聚点集合的并集。